2024년 5월 고3 수학 모의고사 22번 풀이

5월 모의고사 22번 문제입니다. 매우 어려운 난이도에 발상적인 아이디어에 꽤 복잡한 풀이과정까지 포함해서 더 난이도를 올렸습니다. 꽤 긴 풀이가 진행 될 예정입니다.

 

최고차항 계수를 주어준다

 

최고차항 계수를 직접 주어주는 경우는 대체로 직접 함수를 구해야 할 확률이 높다는 걸 인지합시다

비슷하게 양/음 만 주어주는 경우나 언급이 없는 경우는 개형을 잡아가며 진행을 해야합니다.

(참고로 양/음에 대한 언급이 없을때는 음수일 확률이 조금 더 높습니다.)

 

 

극값과 극점은 다르다

 

극값이 3개 라는 정보가 주어져 있습니다. 당연히 4차함수 대표적인 개형 3가지가 떠오르실건데 정확히는 극소값 두 개가 일치하는 경우는 포함되면 안 됩니다!

극값은 극점의 함수값을 말하기 떄문에 극소값이 서로 다른 2 개의 개형만이 선택 됩니다!

 

 

g(x) 분석

 

 우린 물론 g(x)에 대해 생각을 해야하지만 중요한 포인트는 f(x)가 결국에 주인공이라는 겁니다

앞쪽에는 절대값함수의 개념을 뒤 쪽은 미분불가능한 함수에서 도함수를 구할 수 없기에 우미분계수를 대타로 내보낸 것이란 걸 알아야 합니다.

 

 

교대 함수란?

 

교대함수는 정식용어는 아니고 제가 설명을 위해 만들어낸 간단한 용어입니다.

 

쉽게 말해서 한 함수가 다른 두 개이상의 함수가 교대로 사용되어 이루어 진다는 거죠. 기출에서 여러번 다뤄진적이 있으니 기억을 하고 계시기를 추천합니다

 

연속이라는 전제가 있는 교대함수는 항상 두 함수의 교점에서만 교대가 일어난다는 것도 매우 중요합니다! 지금은 연속이라는 전제가 없기에 조금 더 난이도가 올라갑니다.

 

대신 g`(x) 가 양수라는 조건이 있음으로 그림에서 증가하는 형태만 골라주시면 그게 g(x)의 개형이 될 것입니다.

 

여기서 x축에 접하는 f(x)를 가정하는 이유는 기본적으로 특수한 형태를 먼저 고려하는게 좋다는 점 또한 뒤에서 연속을 다룰 것이기 때문에 가능한 연속이 되는 부분을 만들어 준것입니다.

 

 

h(x) 분석

 

h(x)는 그냥 평범한 구간함수 입니다. a를 기준으로 구간이 나눠줘 있기에 일단 연속 불연속부터 파악하는게 중요합니다.

 

또한 우리가 추정한 2개의 g(x) 후보가 연속이 되기 위해서는 불연속인 점에서 h(x)가 불연속이거나 함수값0으로 연속이 되어야 함으로 함수값이 0이 되는 점도 찾아보겠습니다.

 

여기에 또또 h(x)가 불연속이라면 g(x)가 연속이며 0이 되거나 불연속과 겹쳐야 할 겁니다!

 

 

 

마무리 계산

 

 

이제 g(x)를 통해 f(x)의 극값의 위치를 구할 수 있기에 미정계수를 통해서 마무리 계산을 하면 마무리가 될 것입니다!