2022년 7월 고3 수학 모의고사 28번 풀이(정답률 7등)

유형은 적분 퍼즐입니다. 정적분을 사용해서 퍼즐처럼 값을 찾아서 맞춰주는게 핵심입니다!

 

주어진 정보들을 먼저 분석합시다!

정보 분석

• 도함수가 연속 - 미분가능
• (가) 우함수 (y축대칭함수) 표현 (교육과정 상 사라질 표현이긴함..)
• (나) 주기가 2인 주기함수 

자 중요한 건 우함수와 주기적인 성질을 사용해서 정적분의 구간을 재조정할 거라는 걸 인지하는 거라 봅니다!

그 전에 몇 가지 우함수의 성질을 알아봅시다

 

 

우함수, 기함수의 곱셈

• 우함수 X 우함수 = 우함수
• 우함수 X 기함수 = 기함수
• 기함수 X 기함수= 우함수

이 성질을 사용해서 주어진 정적분을 한번 변형해봅시다!

 

 

주기함수 변형

일단 주기가 2인 함수와 주기가 1인 함수를 곱하면 주기는 최소공배수를 따라가게 됩니다.

따라서  f(x)cos2πx 의 주기가 2라는 걸 알 수 있습니다. 

그럼 위의 두개로 나눠준 각 항 모두 주기가 2 임으로 정적분의 구간을 변형해 봅시다!

 

부분적분 파악하기

자 이제 마무리 단계입니다. 우리가 구하고자 하는 식은 부분적분으로 변형 해 주면 딱 좋아 보입니다.

부분적분을 파악하기 위해서는 

1. 적분 하기 좋은 친구가 있느냐?

2. 값을 대입했을 때 우리가 구할 수 있냐?

 

요 두가지를 보시면 되는데 지금 프라임을 적분하고 sin 에 대입을 하면 값을 구할 수 있기에 딱 좋습니다